Часть задуманного числа найдите задуманное число

Если в задаче сказано: «часть задуманного числа найдите задуманное число», значит известна доля числа, а нужно восстановить всё число целиком. Такие задания решаются обратным действием: известную часть делят на дробь, процент или коэффициент, который показывает эту часть.

Как найти задуманное число по его части?

Правило простое:

Чтобы найти задуманное число по известной части, нужно известную часть разделить на дробь, которую она составляет от всего числа.

Формула:

задуманное число = известная часть : доля

Если доля записана дробью:

x = a : m/n

где:

• x – задуманное число;
• a – известная часть числа;
• m/n – какая часть числа известна.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь:

a : m/n = a × n/m

Например:

3/4 задуманного числа равны 21.
x = 21 : 3/4
x = 21 × 4/3
x = 28

Ответ: задуманное число равно 28.

Короткий алгоритм решения

Для задач вида «часть задуманного числа найдите задуманное число» удобно использовать 4 шага:

1. Обозначить задуманное число буквой x.
2. Записать, какая часть числа известна: 1/2, 3/5, 20%, 0,6.
3. Составить уравнение:

   доля × x = известная часть
   

4. Разделить известную часть на долю.

Пример:

2/7 задуманного числа равны 10.
Найдите задуманное число.

Решение:

2/7 × x = 10
x = 10 : 2/7
x = 10 × 7/2
x = 35

Ответ: 35.

Примеры с обыкновенными дробями

Обыкновенная дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли.

Пример 1

1/3 задуманного числа равна 12.
Найдите задуманное число.

Решение:

x = 12 : 1/3
x = 12 × 3
x = 36

Ответ: 36.

Проверка:

36 × 1/3 = 12

Пример 2

5/8 задуманного числа равны 40.
Найдите задуманное число.

Решение:

x = 40 : 5/8
x = 40 × 8/5
x = 64

Ответ: 64.

Проверка:

64 × 5/8 = 40

Пример 3

7/10 задуманного числа равны 63.
Найдите задуманное число.

Решение:

x = 63 : 7/10
x = 63 × 10/7
x = 90

Ответ: 90.

Примеры с десятичными дробями

Если часть дана десятичной дробью, её можно оставить в таком виде или перевести в обыкновенную дробь.

Пример 1

0,2 задуманного числа равны 14.
Найдите задуманное число.

Так как 0,2 = 1/5, получаем:

x = 14 : 0,2
x = 70

Ответ: 70.

Пример 2

0,75 задуманного числа равны 45.
Найдите задуманное число.

Решение:

x = 45 : 0,75
x = 60

Ответ: 60.

Проверка:

60 × 0,75 = 45

Как найти задуманное число, если часть дана в процентах?

Процент – это одна сотая часть числа. Поэтому перед решением проценты переводят в дробь:

p% = p/100

Затем используют ту же формулу:

задуманное число = известная часть : p/100

Пример 1

25% задуманного числа равны 30.
Найдите задуманное число.

Решение:

25% = 25/100 = 0,25
x = 30 : 0,25
x = 120

Ответ: 120.

Пример 2

15% задуманного числа равны 9.
Найдите задуманное число.

Решение:

15% = 0,15
x = 9 : 0,15
x = 60

Ответ: 60.

Пример 3

120% задуманного числа равны 84.
Найдите задуманное число.

Здесь часть больше самого числа, потому что 120% = 1,2.

x = 84 : 1,2
x = 70

Ответ: 70.

Таблица быстрых случаев

Главная идея таблицы: если известна простая доля, можно сразу умножать на обратное число.

Решение через уравнение

Многие школьные задачи удобнее записывать уравнением. Пусть задуманное число – это x.

Задача:

От задуманного числа взяли 4/9 и получили 32.
Найдите задуманное число.

Записываем:

4/9x = 32

Чтобы найти x, делим обе части уравнения на 4/9:

x = 32 : 4/9
x = 32 × 9/4
x = 72

Ответ: 72.

Проверка:

72 × 4/9 = 32

Такой способ особенно полезен, если в условии есть несколько действий: сначала нашли часть числа, потом прибавили или вычли другое число.

Более сложный пример

Если к 2/5 задуманного числа прибавить 6, получится 30.
Найдите задуманное число.

Пусть задуманное число – x.

Составим уравнение:

2/5x + 6 = 30

Сначала убираем прибавленное число:

2/5x = 30 - 6
2/5x = 24

Теперь находим целое число по его части:

x = 24 : 2/5
x = 24 × 5/2
x = 60

Ответ: 60.

Проверка:

2/5 от 60 = 24
24 + 6 = 30

Чем отличается нахождение части от нахождения числа по части

Эти 2 типа задач часто путают.

Сравнение на одном числе:

Найти 3/4 от 28:
28 × 3/4 = 21

А теперь обратная задача:

3/4 числа равны 21. Найти число:
21 : 3/4 = 28

В первой задаче целое число уже известно. Во второй – его нужно восстановить.

Типичные ошибки

Делят дробь на число вместо числа на дробь

Неверно:

3/5 : 15

Верно:

15 : 3/5

Известная часть – это число 15, а 3/5 показывает долю.

Умножают вместо деления

Если 2/3 числа равны 18, нельзя писать:

18 × 2/3 = 12

Так находится новая часть, а не всё число.

Правильно:

18 : 2/3 = 27

Не переводят проценты в дробь

Неверно:

40 : 20

Если 20% числа равны 40, то надо делить на 0,2, а не на 20.

Правильно:

40 : 0,2 = 200

Как проверить ответ

Проверка всегда выполняется прямым действием: найденное число умножают на данную в условии часть.

Если ответ найден правильно, получится известная часть.

Пример:

3/8 числа равны 15.
x = 15 : 3/8 = 40

Проверка:

40 × 3/8 = 15

Получили число из условия, значит решение верное.

Краткая памятка

Если дана часть задуманного числа и нужно найти задуманное число:

целое = часть : доля

Если доля – дробь:

целое = часть × обратная дробь

Если доля – процент:

целое = часть : (процент / 100)

Примеры:

1/5 числа равна 9  →  9 : 1/5 = 45
4/7 числа равны 20  →  20 : 4/7 = 35
30% числа равны 12  →  12 : 0,3 = 40

Главное – определить, что в условии дана именно часть, а не всё число. Тогда задуманное число находится делением на указанную долю.