Центростремительное ускорение

Что такое центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — это ускорение, характеризующее изменение направления скорости тела при его движении по окружности. Оно всегда направлено к центру этой окружности, перпендикулярно к вектору скорости. Это ускорение существует при любом круговом движении, даже если модуль скорости остаётся постоянным (равномерное круговое движение).

Главная особенность: центростремительное ускорение не изменяет величину скорости, а только её направление. Поэтому его иногда называют нормальным ускорением.

Формула центростремительного ускорения

Основная формула через линейную скорость:

$$a_c = \frac{v^2}{R}$$

где:

• a_c — центростремительное ускорение (м/с²);
• v — линейная скорость движения (м/с);
• R — радиус круговой траектории (м).

Альтернативная формула через угловую скорость:

$$a_c = \omega^2 \cdot R$$

где:

• ω — угловая скорость (рад/с).

Формула через период обращения:

$$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

где:

• T — период полного оборота (с).

Физический смысл

Для поддержания кругового движения к телу постоянно прилагается центростремительная сила, определяемая вторым законом Ньютона:

$$F_c = m \cdot a_c = \frac{m \cdot v^2}{R}$$

Эта сила направлена к центру и создаёт необходимое ускорение. Примеры:

• На машине в повороте: сила трения и нормальная сила от дороги создают центростремительное ускорение.
• Спутник на орбите: гравитационная сила обеспечивает ускорение.
• Вращение шарика на нити: натяжение нити создаёт центростремительную силу.

Примеры расчётов

Пример 1: Автомобиль на повороте

Автомобиль движется по круглому повороту радиусом 50 м со скоростью 20 м/с. Найти центростремительное ускорение.

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(20)^2}{50} = \frac{400}{50} = 8 \text{ м/с}^2$$

Пример 2: Вращение диска

Диск вращается с угловой скоростью 5 рад/с. Точка на расстоянии 0,2 м от оси имеет ускорение:

$$a_c = \omega^2 \cdot R = (5)^2 \cdot 0,2 = 25 \cdot 0,2 = 5 \text{ м/с}^2$$

Пример 3: Спутник на орбите

Спутник обращается вокруг Земли с периодом 90 минут (5400 с) на радиусе 6,67 млн м.

$$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2} = \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 6,67 \times 10^6}{(5400)^2} \approx 9,1 \text{ м/с}^2$$

Практическое применение

• Транспорт: расчёт безопасной скорости на поворотах дорог.
• Роторные машины: определение нагрузок в турбинах, центрифугах.
• Астрономия: анализ орбитального движения планет и спутников.
• Развлечения: проектирование каруселей и аттракционов.
• Механика: расчёт прочности конструкций при круговом движении.

Важные замечания

• Центростремительное ускорение всегда направлено к центру, независимо от направления движения вокруг окружности.
• При увеличении скорости в два раза ускорение возрастает в четыре раза (квадратичная зависимость от v).
• При уменьшении радиуса при той же скорости ускорение растёт обратно пропорционально.
• Величина ускорения не зависит от массы тела — это чисто кинематическая характеристика.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.