Центростремительное ускорение тела

Центростремительное ускорение — это ускорение, направленное к центру окружности при движении тела по круговой траектории. Величина зависит от скорости движения и радиуса траектории. Знание этого параметра важно для анализа кругового движения в механике и инженерии.

Обновлено:

Содержание статьи
Способ расчёта
Исходные данные Скорость движения тела по окружности Расстояние от центра до точки движения

Что такое центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — это ускорение, характеризующее изменение направления скорости тела при его движении по окружности. Оно всегда направлено к центру этой окружности, перпендикулярно к вектору скорости. Это ускорение существует при любом круговом движении, даже если модуль скорости остаётся постоянным (равномерное круговое движение).

Главная особенность: центростремительное ускорение не изменяет величину скорости, а только её направление. Поэтому его иногда называют нормальным ускорением.

Формула центростремительного ускорения

Основная формула через линейную скорость:

$$a_c = \frac{v^2}{R}$$

где:

Альтернативная формула через угловую скорость:

$$a_c = \omega^2 \cdot R$$

где:

Формула через период обращения:

$$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

где:

Физический смысл

Для поддержания кругового движения к телу постоянно прилагается центростремительная сила, определяемая вторым законом Ньютона:

$$F_c = m \cdot a_c = \frac{m \cdot v^2}{R}$$

Эта сила направлена к центру и создаёт необходимое ускорение. Примеры:

Примеры расчётов

Пример 1: Автомобиль на повороте

Автомобиль движется по круглому повороту радиусом 50 м со скоростью 20 м/с. Найти центростремительное ускорение.

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(20)^2}{50} = \frac{400}{50} = 8 \text{ м/с}^2$$

Пример 2: Вращение диска

Диск вращается с угловой скоростью 5 рад/с. Точка на расстоянии 0,2 м от оси имеет ускорение:

$$a_c = \omega^2 \cdot R = (5)^2 \cdot 0,2 = 25 \cdot 0,2 = 5 \text{ м/с}^2$$

Пример 3: Спутник на орбите

Спутник обращается вокруг Земли с периодом 90 минут (5400 с) на радиусе 6,67 млн м.

$$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2} = \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 6,67 \times 10^6}{(5400)^2} \approx 9,1 \text{ м/с}^2$$

Практическое применение

Важные замечания

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать центростремительное ускорение?

Используйте формулу a = v²/R, где v — линейная скорость в м/с, R — радиус окружности в метрах. Результат будет в м/с². Например, при скорости 10 м/с и радиусе 5 м ускорение равно 100/5 = 20 м/с².

Почему ускорение направлено к центру?

Это следствие второго закона Ньютона. Тело движется по окружности, поэтому его скорость постоянно меняет направление. Для изменения направления необходима сила, направленная к центру, следовательно, и ускорение тоже направлено к центру.

Какова связь между угловой и линейной скоростью?

Линейная скорость связана с угловой скоростью ω формулой v = ω·R. Центростремительное ускорение можно выразить как a = ω²·R.

Как центростремительное ускорение влияет на силу натяжения?

Сила натяжения нити (или центростремительная сила) равна F = m·a = m·v²/R, где m — масса тела. Чем выше скорость, тем больше требуется сила для удержания тела на круговой траектории.

Изменяется ли величина ускорения при равномерном круговом движении?

При равномерном круговом движении модуль ускорения остаётся постоянным, но его направление постоянно меняется, всегда указывая на центр окружности.

Какая формула через период обращения?

Если известен период T (время полного оборота), используйте a = 4π²R/T². Например, при R = 2 м и T = 4 с получаем a = 4·π²·2/16 ≈ 4,93 м/с².

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.