Цена деления шкалы и погрешность измерения

Один и тот же стол измерили три ученика одной линейкой. Один получил 85,3 см, другой – 85,5 см, третий – 85,1 см. Кто прав? Все – если учесть приборную погрешность. Именно цена деления шкалы определяет, с какой точностью прибор вообще способен работать, а погрешность измерения показывает, насколько можно доверять результату.

Что такое цена деления шкалы?

Цена деления шкалы – это наименьшее значение физической величины, которое соответствует одному делению на шкале прибора. Другими словами, это шаг, с которым нанесены отметки.

Формула цены деления:

N = (x_max − x_min) / n

где:

• N – цена деления,
• x_max – максимальное значение на шкале,
• x_min – минимальное значение на шкале,
• n – количество делений между x_min и x_max.

Например, у термометра шкала идёт от −40 °C до +50 °C, а между крайними отметками 90 делений. Тогда цена деления:

N = (50 − (−40)) / 90 = 90 / 90 = 1 °C.

Как определить цену деления прибора

Алгоритм универсален для любого аналогового прибора с линейной шкалой:

1. Найдите диапазон шкалы – разность между наибольшим и наименьшим значениями.
2. Посчитайте количество делений – именно мелких промежутков, а не цифр. Считайте от одной крайней риски до другой.
3. Разделите диапазон на число делений – результат и есть цена деления.

Частая ошибка – считать не промежутки, а риски. Между двумя соседними цифрами на линейке один промежуток, а не два.

Виды погрешностей измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения от истинного (действительного) значения величины. Погрешность неизбежна: ни один прибор не даёт абсолютно точного результата.

Различают три основных вида:

Абсолютная погрешность

Показывает, на сколько единиц измерения результат отличается от истинного значения:

Δ = |xизм − xист|

Если реальная длина стола 85,40 см, а ученик получил 85,3 см, абсолютная погрешность составляет:

Δ = |85,3 − 85,40| = 0,1 см.

Относительная погрешность

Показывает долю ошибки относительно самого измерения. Удобна для сравнения точности разных измерений:

δ = (Δ / x_ист) × 100%

Для примера выше:

δ = (0,1 / 85,40) × 100% ≈ 0,12%.

Приборная погрешность

Зависит от конструкции прибора. Для стрелочных приборов стандартно принимают:

Δ_пр = N / 2

то есть половину цены деления. Это та погрешность, которая заложена в сам прибор, даже если человек отсчитывает показания идеально.

Как цена деления связана с погрешностью измерения

Связь между ценой деления и погрешностью измерения прямая: чем меньше цена деления, тем ниже приборная погрешность и тем точнее прибор.

При записи результата измерения указывают и само значение, и погрешность:

x = xизм ± Δпр

Для линейки с ценой деления 1 мм приборная погрешность составляет 0,5 мм. Если отсчёт показал 5,35 см, записывают:

l = 5,35 ± 0,05 см.

Это означает, что истинная длина лежит в диапазоне от 5,30 до 5,40 см.

Зависимость простая:

Чем крупнее деление, тем шире «вилка» возможных значений.

Примеры расчёта цены деления и погрешности

Пример 1: Линейка

Линейка 0–30 см, на каждый сантиметр приходится 10 делений. Общее число делений: 300.

N = (30 − 0) / 300 = 0,1 см = 1 мм.

Приборная погрешность: Δ_пр = 1 / 2 = 0,5 мм = 0,05 см.

При измерении отрезка длиной 12,7 см результат: l = 12,7 ± 0,05 см.

Пример 2: Термометр

Шкала от −50 °C до +50 °C, 100 делений.

N = (50 − (−50)) / 100 = 1 °C.

Δ_пр = 0,5 °C.

Показание: T = 24 ± 0,5 °C.

Пример 3: Амперметр

Шкала от 0 до 3 А, 30 делений.

N = (3 − 0) / 30 = 0,1 А.

Δ_пр = 0,05 А.

Показание: I = 1,25 ± 0,05 А.

Пример 4: Относительная погрешность при сравнении

Нужно сравнить точность двух измерений:

• Длина стола: 85,3 ± 0,5 см → δ = (0,5 / 85,3) × 100% ≈ 0,59%.
• Длина карандаша: 18,2 ± 0,5 см → δ = (0,5 / 18,2) × 100% ≈ 2,75%.

При одинаковой абсолютной погрешности (0,5 см) относительная погрешность измерения карандаша в 4,7 раза выше. Короткие объекты измерять той же линейкой менее точно.

Цена деления распространённых приборов

Данные приведены для типовых школьных приборов. Точные характеристики указаны в паспорте конкретного устройства.

Правила округления и запись результата

При записи измерения соблюдают два правила:

• Погрешность округляют до одной значащей цифры (иногда до двух, если первая цифра – 1 или 2). Например, Δ = 0,048 → 0,05.
• Сам результат округляют до того же разряда, что и погрешность. Если Δ = 0,05, то x = 12,70, а не 12,7123.

Серия измерений повышает точность. Среднее арифметическое n измерений:

x_ср = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n

Стандартная погрешность среднего:

Δср = Δпр / √n

При 16 измерениях погрешность снижается в 4 раза по сравнению с одиночным.