Вероятность при броске кубика
Задача «бросают кубик, найти вероятность» встречается в школьных контрольных, ОГЭ и ЕГЭ. Решение сводится к одной формуле – нужно лишь правильно подсчитать исходы.
Формула классической вероятности
Игральный кубик – правильный куб с гранями 1–6. При честном броске каждая грань выпадает с одинаковой вероятностью. Это условие позволяет применять формулу классической вероятности:
$$P(A) = \frac{m}{n}$$
- n – общее число равновозможных исходов
- m – число исходов, при которых событие A наступает
Вероятность всегда лежит в диапазоне 0 ≤ P(A) ≤ 1. При P(A) = 0 событие невозможно, при P(A) = 1 – достоверно.
Один кубик: разбор типовых событий
При одном броске n = 6.
| Событие | Благоприятные исходы | m | P(A) |
|---|---|---|---|
| Выпадет 3 | {3} | 1 | 1/6 ≈ 0,167 |
| Выпадет чётное | {2, 4, 6} | 3 | 1/2 = 0,5 |
| Выпадет нечётное | {1, 3, 5} | 3 | 1/2 = 0,5 |
| Выпадет > 4 | {5, 6} | 2 | 1/3 ≈ 0,333 |
| Выпадет ≤ 2 | {1, 2} | 2 | 1/3 ≈ 0,333 |
| Выпадет кратное 3 | {3, 6} | 2 | 1/3 ≈ 0,333 |
Пример. Кубик бросают один раз. Найти вероятность того, что выпадет число не меньше 5.
Благоприятные исходы: {5, 6}, m = 2.
$$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$$
Калькулятор рассчитывает вероятность для одного или двух кубиков. Укажите количество кубиков, вид события (конкретное число, сумма, чётное/нечётное, больше или меньше порога) – и получите результат в виде дроби и десятичного числа.
Два кубика: таблица сумм и вероятностей
При броске двух кубиков общее число исходов n = 6 × 6 = 36. Каждый исход – пара (a, b).
| Сумма S | Варианты (a, b) | m | P(A) |
|---|---|---|---|
| 2 | (1,1) | 1 | 1/36 ≈ 0,028 |
| 3 | (1,2), (2,1) | 2 | 2/36 ≈ 0,056 |
| 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | 3/36 ≈ 0,083 |
| 5 | (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) | 4 | 4/36 ≈ 0,111 |
| 6 | (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) | 5 | 5/36 ≈ 0,139 |
| 7 | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 | 6/36 ≈ 0,167 |
| 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | 5/36 ≈ 0,139 |
| 9 | (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) | 4 | 4/36 ≈ 0,111 |
| 10 | (4,6), (5,5), (6,4) | 3 | 3/36 ≈ 0,083 |
| 11 | (5,6), (6,5) | 2 | 2/36 ≈ 0,056 |
| 12 | (6,6) | 1 | 1/36 ≈ 0,028 |
Наиболее вероятная сумма – 7: 6 способов из 36.
Пример. Два кубика бросают одновременно. Найти вероятность того, что сумма равна 9.
По таблице: сумма 9 получается 4 способами.
$$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111$$
Как найти вероятность сложного события?
Сложение (для несовместных событий)
Если A и B не могут произойти одновременно:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
Пример. Один кубик. Найти вероятность выпадения 2 или 5.
$$P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Умножение (для независимых событий)
Броски кубика независимы: результат предыдущего броска не влияет на следующий.
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Пример. Кубик бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадет 6.
$$P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 0{,}028$$
Формула дополнения: считать «от противного»
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
Событие $\bar{A}$ – «противоположное»: A не наступило. Применяют, когда подсчитать «неудачные» исходы проще, чем «удачные».
Пример. Кубик бросают 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6.
Шаг 1. Вероятность противоположного события «ни разу не выпала 6»:
$$P(\bar{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$
Шаг 2. Вероятность нужного события:
$$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306$$
Типовые задачи с решением
Задача 1. Один кубик. Найти вероятность выпадения чётного числа, большего 2.
Благоприятные исходы: {4, 6} → m = 2.
$$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$$
Задача 2. Два кубика. Найти вероятность «дубля» – одинаковых чисел на обоих.
Дубли: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) → m = 6.
$$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$
Задача 3. Кубик бросают три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 1.
Противоположное событие: ни разу не выпала 1.
$$P(\bar{A}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$$
$$P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}421$$
Задача 4 (формат ЕГЭ). Два кубика. Найти вероятность того, что сумма не превышает 4.
Суммируем по таблице: S = 2 (1 исход) + S = 3 (2) + S = 4 (3) = 6 исходов.
$$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$
Статья носит образовательный характер; для подготовки к конкретному экзамену уточняйте актуальные требования в официальных демоверсиях заданий.