Биссектриса треугольника считать

11 апреля 2026 г.

Как биссектрису треугольника считать

Треугольник задан тремя сторонами 13, 14 и 15. Нужно найти длину биссектрисы к стороне 14 – подставлять значения в формулу вручную дольше, чем проверить результат на калькуляторе. Онлайн-инструмент на этой странице позволяет биссектрису треугольника считать за секунды: введите стороны, и получите длину сразу для всех трёх углов. Калькулятор также показывает, какой отрезок образует каждая биссектриса на противоположной стороне.

Что такое биссектриса треугольника

Биссектриса (от лат. bis – дважды, sectio – рассечение) – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине на два равных угла.

В любом треугольнике можно провести три внутренние биссектрисы – по одной из каждой вершины. Все три пересекаются в одной точке, называемой инцентром (центром вписанной окружности). Инцентр равноудалён от всех сторон, и это расстояние равно радиусу вписанной окружности r = S / p, где S – площадь, p – полупериметр.

Существует также внешняя биссектриса – луч, делящий пополам внешний угол при вершине (смежный с внутренним). Внешняя биссектриса пересекает продолжение противоположной стороны за пределами треугольника.

Теорема о биссектрисе угла

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D, то:

BD : DC = AB : AC = c : b

Отсюда длины отрезков вычисляются непосредственно:

BD = a · c / (b + c)
DC = a · b / (b + c)

Пример. В треугольнике ABC заданы AB = 8, AC = 12, BC = 15. Биссектриса из A пересекает BC в точке D.

BD : DC = 8 : 12 = 2 : 3

BD + DC = 15, значит BD = 6, DC = 9.

Обратная теорема тоже верна: если луч из вершины делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, этот луч является биссектрисой.

Формулы длины биссектрисы

Через две стороны и угол между ними

Самая наглядная формула использует две прилежащие к углу стороны и сам угол:

l_a = (2 · b · c · cos(A / 2)) / (b + c)

Пояснение: b и c – стороны, образующие угол A. Формула показывает, что длина биссектрисы зависит от длин сторон через их среднее гармоническое (множитель 2bc / (b + c)) и от угла через косинус половинного значения.

Пример. Стороны b = 10, c = 15, угол A = 60°.

l_a = (2 · 10 · 15 · cos 30°) / (10 + 15) = (300 · 0,866) / 25 ≈ 10,39

Через три стороны

Когда углы неизвестны, используют формулу, содержащую только длины сторон a, b, c:

l_a = √(b · c · ((b + c)² − a²)) / (b + c)

Эта формула выводится из теоремы Стюарта – одного из ключевых соотношений планиметрии, связывающего длину чевианы (отрезка из вершины к противоположной стороне) с длинами сторон треугольника.

Пример. В треугольнике a = 13, b = 14, c = 15. Найдём биссектрису из вершины, противолежащей стороне a (то есть l_a):

l_a = √(14 · 15 · ((14 + 15)² − 13²)) / (14 + 15)

l_a = √(210 · (841 − 169)) / 29 = √(210 · 672) / 29 = √141 120 / 29 ≈ 375,66 / 29 ≈ 12,95

Через прилежащие стороны и отрезки деления

Если известны длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону (обозначим их n и m):

l_a = √(b · c − n · m)

Это компактная формула, удобная для задач, где даны части основания.

Через полупериметр и стороны

Обозначим полупериметр p = (a + b + c) / 2. Тогда:

l_a = (2 / (b + c)) · √(b · c · p · (p − a))

Эта запись удобна, когда полупериметр уже вычислен – например, при нахождении площади по формуле Герона.

Биссектриса в треугольниках разных типов

Равносторонний треугольник

Все стороны равны: a = b = c. Биссектриса совпадает с медианой, высотой и серединным перпендикуляром:

l = a · √3 / 2

Для стороны a = 10: l = 10 · 1,732 / 2 ≈ 8,66. Все три биссектрисы равны и пересекаются в центре треугольника.

Равнобедренный треугольник

Через боковую сторону b и основание a (биссектриса из вершины между боковыми сторонами):

l = √(b² − a² / 4)

Биссектриса из угла при основании к боковой стороне (через угол при основании α и боковую сторону b):

l = b · sin α

Через основание a и угол при основании α:

l = (a · √2 · sin α) / (2 · sin(α + α/2)) – используется основная формула через два угла и сторону.

Прямоугольный треугольник

Биссектриса из прямого угла через катеты a и b:

l = (a · b · √2) / (a + b)

Пример. Катеты 3 и 4:

l = (3 · 4 · 1,414) / (3 + 4) = 16,97 / 7 ≈ 2,42

Биссектриса из острого угла через катет b и гипотенузу c:

l = b · √(2 · b / (b + c))

Биссектриса из острого угла через катет b и угол β при этой стороне:

l = b / cos(β / 2)

Свойства биссектрис

Каждый треугольник имеет ровно три внутренние биссектрисы.
Все три биссектрисы пересекаются в одной точке – инцентре.
Инцентр всегда расположен внутри треугольника, независимо от типа угла (острый, прямой, тупой).
Инцентр – центр вписанной окружности, касающейся всех трёх сторон.
Длина биссектрисы всегда меньше каждой из сторон, образующих угол.
Биссектриса не превышает среднее геометрическое прилежащих сторон: l_a ≤ √(b · c).
Самая длинная биссектриса проведена из вершины с наименьшим углом.
Биссектрисы внешних углов пересекаются в трёх точках – центрах вневписанных окружностей.

Как построить биссектрису циркулем и линейкой

Классическое геометрическое построение выполняется без измерений, только циркулем и линейкой:

Из вершины угла проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает обе стороны угла в точках M и N.
Из точки M проводим дугу произвольного радиуса внутри угла.
Из точки N проводим дугу того же радиуса. Две дуги пересекаются в точке P.
Прямая AP – биссектриса угла.

Правильность построения проверяется измерением: образовавшиеся углы BAP и PAC должны быть равны.

Применение биссектрисы на практике

В архитектуре и проектировании точное деление углов через биссектрисы используется при создании симметричных конструкций – арок, декоративных элементов, стропильных систем.

В компьютерной графике алгоритмы на основе биссектрис применяются для сглаживания углов в 3D-моделях, генерации симметричных паттернов и текстур.

В навигации и геодезии биссектрисы участвуют в методах триангуляции – определении положения точки по углам между ориентирами.

В машиностроении биссектриса определяет направление равнодействующей силы, когда две нагрузки приложены под углом друг к другу, – это используется при расчёте узлов и креплений.

Обратите внимание: результаты калькулятора носят справочный характер. Для учебных работ проверяйте вычисления самостоятельно.

Часто задаваемые вопросы

Чем биссектриса отличается от медианы и высоты треугольника?

Биссектриса делит угол при вершине пополам. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Высота проведена перпендикулярно к стороне. Эти три отрезка совпадают только в равностороннем треугольнике и в равнобедренном – для вершины между равными сторонами. В общем разностороннем треугольнике все три отрезка различны.

Из какого угла выходит самая длинная биссектриса?

Самая длинная биссектриса всегда проведена из вершины с наименьшим углом треугольника. Это связано с тем, что при фиксированных прилежащих сторонах значение косинуса половинного угла увеличивается при уменьшении угла. Соответственно, меньший угол даёт большую длину биссектрисы.

Может ли биссектриса быть равна стороне треугольника?

Нет, длина биссектрисы всегда строго меньше каждой из сторон, образующих угол, из которого она проведена. Также биссектриса не превышает среднее геометрическое этих двух сторон: l_a ≤ √(b · c). Это следует непосредственно из формул длины биссектрисы.

Биссектриса всегда находится внутри треугольника?

Внутренняя биссектриса всегда целиком лежит внутри треугольника, включая все его типы – остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Однако существует также внешняя биссектриса, которая делит пополам внешний угол и пересекает продолжение противоположной стороны за пределами треугольника.

Как найти точку пересечения биссектрисы со стороной?

По теореме о биссектрисе точка делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Для биссектрисы из вершины A на сторону BC: BD = a · c / (b + c) и DC = a · b / (b + c). Сумма этих отрезков всегда равна полной длине стороны a.

Где пересекаются все три биссектрисы треугольника?

Три внутренние биссектрисы пересекаются в одной точке – инцентре. Эта точка равноудалена от всех трёх сторон и является центром вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен площади треугольника, делённой на полупериметр: r = S / p.