Биссектриса треугольника считать

Как биссектрису треугольника считать

Треугольник задан тремя сторонами 13, 14 и 15. Нужно найти длину биссектрисы к стороне 14 – подставлять значения в формулу вручную дольше, чем проверить результат на калькуляторе. Онлайн-инструмент на этой странице позволяет биссектрису треугольника считать за секунды: введите стороны, и получите длину сразу для всех трёх углов. Калькулятор также показывает, какой отрезок образует каждая биссектриса на противоположной стороне.

Что такое биссектриса треугольника

Биссектриса (от лат. bis – дважды, sectio – рассечение) – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине на два равных угла.

В любом треугольнике можно провести три внутренние биссектрисы – по одной из каждой вершины. Все три пересекаются в одной точке, называемой инцентром (центром вписанной окружности). Инцентр равноудалён от всех сторон, и это расстояние равно радиусу вписанной окружности r = S / p, где S – площадь, p – полупериметр.

Существует также внешняя биссектриса – луч, делящий пополам внешний угол при вершине (смежный с внутренним). Внешняя биссектриса пересекает продолжение противоположной стороны за пределами треугольника.

Теорема о биссектрисе угла

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D, то:

BD : DC = AB : AC = c : b

Отсюда длины отрезков вычисляются непосредственно:

• BD = a · c / (b + c)
• DC = a · b / (b + c)

Пример. В треугольнике ABC заданы AB = 8, AC = 12, BC = 15. Биссектриса из A пересекает BC в точке D.

BD : DC = 8 : 12 = 2 : 3

BD + DC = 15, значит BD = 6, DC = 9.

Обратная теорема тоже верна: если луч из вершины делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, этот луч является биссектрисой.

Формулы длины биссектрисы

Через две стороны и угол между ними

Самая наглядная формула использует две прилежащие к углу стороны и сам угол:

l_a = (2 · b · c · cos(A / 2)) / (b + c)

Пояснение: b и c – стороны, образующие угол A. Формула показывает, что длина биссектрисы зависит от длин сторон через их среднее гармоническое (множитель 2bc / (b + c)) и от угла через косинус половинного значения.

Пример. Стороны b = 10, c = 15, угол A = 60°.

l_a = (2 · 10 · 15 · cos 30°) / (10 + 15) = (300 · 0,866) / 25 ≈ 10,39

Через три стороны

Когда углы неизвестны, используют формулу, содержащую только длины сторон a, b, c:

l_a = √(b · c · ((b + c)² − a²)) / (b + c)

Эта формула выводится из теоремы Стюарта – одного из ключевых соотношений планиметрии, связывающего длину чевианы (отрезка из вершины к противоположной стороне) с длинами сторон треугольника.

Пример. В треугольнике a = 13, b = 14, c = 15. Найдём биссектрису из вершины, противолежащей стороне a (то есть l_a):

l_a = √(14 · 15 · ((14 + 15)² − 13²)) / (14 + 15)

l_a = √(210 · (841 − 169)) / 29 = √(210 · 672) / 29 = √141 120 / 29 ≈ 375,66 / 29 ≈ 12,95

Через прилежащие стороны и отрезки деления

Если известны длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону (обозначим их n и m):

l_a = √(b · c − n · m)

Это компактная формула, удобная для задач, где даны части основания.

Через полупериметр и стороны

Обозначим полупериметр p = (a + b + c) / 2. Тогда:

l_a = (2 / (b + c)) · √(b · c · p · (p − a))

Эта запись удобна, когда полупериметр уже вычислен – например, при нахождении площади по формуле Герона.

Биссектриса в треугольниках разных типов

Равносторонний треугольник

Все стороны равны: a = b = c. Биссектриса совпадает с медианой, высотой и серединным перпендикуляром:

l = a · √3 / 2

Для стороны a = 10: l = 10 · 1,732 / 2 ≈ 8,66. Все три биссектрисы равны и пересекаются в центре треугольника.

Равнобедренный треугольник

Через боковую сторону b и основание a (биссектриса из вершины между боковыми сторонами):

l = √(b² − a² / 4)

Биссектриса из угла при основании к боковой стороне (через угол при основании α и боковую сторону b):

l = b · sin α

Через основание a и угол при основании α:

l = (a · √2 · sin α) / (2 · sin(α + α/2)) – используется основная формула через два угла и сторону.

Прямоугольный треугольник

Биссектриса из прямого угла через катеты a и b:

l = (a · b · √2) / (a + b)

Пример. Катеты 3 и 4:

l = (3 · 4 · 1,414) / (3 + 4) = 16,97 / 7 ≈ 2,42

Биссектриса из острого угла через катет b и гипотенузу c:

l = b · √(2 · b / (b + c))

Биссектриса из острого угла через катет b и угол β при этой стороне:

l = b / cos(β / 2)

Свойства биссектрис

• Каждый треугольник имеет ровно три внутренние биссектрисы.
• Все три биссектрисы пересекаются в одной точке – инцентре.
• Инцентр всегда расположен внутри треугольника, независимо от типа угла (острый, прямой, тупой).
• Инцентр – центр вписанной окружности, касающейся всех трёх сторон.
• Длина биссектрисы всегда меньше каждой из сторон, образующих угол.
• Биссектриса не превышает среднее геометрическое прилежащих сторон: l_a ≤ √(b · c).
• Самая длинная биссектриса проведена из вершины с наименьшим углом.
• Биссектрисы внешних углов пересекаются в трёх точках – центрах вневписанных окружностей.

Как построить биссектрису циркулем и линейкой

Классическое геометрическое построение выполняется без измерений, только циркулем и линейкой:

1. Из вершины угла проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает обе стороны угла в точках M и N.
2. Из точки M проводим дугу произвольного радиуса внутри угла.
3. Из точки N проводим дугу того же радиуса. Две дуги пересекаются в точке P.
4. Прямая AP – биссектриса угла.

Правильность построения проверяется измерением: образовавшиеся углы BAP и PAC должны быть равны.

Применение биссектрисы на практике

В архитектуре и проектировании точное деление углов через биссектрисы используется при создании симметричных конструкций – арок, декоративных элементов, стропильных систем.

В компьютерной графике алгоритмы на основе биссектрис применяются для сглаживания углов в 3D-моделях, генерации симметричных паттернов и текстур.

В навигации и геодезии биссектрисы участвуют в методах триангуляции – определении положения точки по углам между ориентирами.

В машиностроении биссектриса определяет направление равнодействующей силы, когда две нагрузки приложены под углом друг к другу, – это используется при расчёте узлов и креплений.

Обратите внимание: результаты калькулятора носят справочный характер. Для учебных работ проверяйте вычисления самостоятельно.