AB = BC: как найти угол B в треугольнике

В треугольнике с условием AB = BC две стороны равны – значит, треугольник равнобедренный. Сторона AC становится основанием, а вершина B – вершиной при равных сторонах. Углы при основании (∠A и ∠C) равны между собой, а угол при вершине B вычисляется через сумму углов треугольника.

Краткий ответ: формула для угла B

Если известен один из углов при основании:

∠B = 180° − 2·∠A (или 180° − 2·∠C, так как ∠A = ∠C)

Если известны стороны AB = BC = a и основание AC = b, применяется теорема косинусов:

cos(∠B) = 1 − b² / (2·a²)

Без дополнительного данного (угла или длины) угол B однозначно не определяется.

Калькулятор выше принимает один из вариантов исходных данных: угол A или C в градусах, либо длины боковой стороны и основания. На выходе – значение угла B и проверка через сумму углов.

Почему AB = BC даёт равнобедренный треугольник

Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья – основанием.

В обозначении ABC:

• AB и BC – боковые стороны
• AC – основание
• B – вершина при равных сторонах
• A и C – углы при основании

Ключевое свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сторона BC лежит против ∠A, сторона AB – против ∠C. Раз стороны равны – равны и противолежащие углы: ∠A = ∠C.

Как найти угол B через известный угол при основании

Сумма углов любого треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Подставляем ∠C = ∠A:

2·∠A + ∠B = 180° ∠B = 180° − 2·∠A

Пример 1. Дано: AB = BC, ∠A = 70°. Найти ∠B. ∠B = 180° − 2·70° = 180° − 140° = 40°

Пример 2. Дано: AB = BC, ∠C = 25°. Найти ∠B. Так как ∠A = ∠C = 25°, то ∠B = 180° − 50° = 130° (тупой угол при вершине).

Пример 3. AB = BC = AC. Все три стороны равны, треугольник равносторонний. ∠B = 60°.

Как найти угол B через стороны

Если даны длины: AB = BC = a и основание AC = b, используем теорему косинусов для стороны AC:

AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos(∠B)

b² = 2a² − 2a²·cos(∠B)

Отсюда:

cos(∠B) = (2a² − b²) / (2a²) = 1 − b² / (2a²)

Пример. AB = BC = 5, AC = 6. cos(∠B) = 1 − 36 / 50 = 1 − 0,72 = 0,28 ∠B ≈ arccos(0,28) ≈ 73,7°

Проверка: углы при основании ∠A = ∠C = (180° − 73,7°) / 2 ≈ 53,15°. Сумма даёт 180°.

Как найти угол B через высоту или площадь

Опустим высоту BH из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике она же является медианой и биссектрисой, то есть AH = HC = b/2 и делит ∠B пополам.

Из прямоугольного треугольника BHA:

tg(∠B / 2) = AH / BH = (b/2) / h

Отсюда:

∠B = 2·arctg(b / (2h))

где h – высота из вершины B.

Если известна площадь S = (1/2)·b·h, то h = 2S/b и формула преобразуется через площадь.

Какой угол B бывает по величине

Тип угла при вершине зависит от соотношения боковой стороны и основания:

Граничный случай b = 2a соответствует вырожденному треугольнику: точки A, B, C лежат на одной прямой.

Частые ошибки в задачах

• Путаница с равными углами. При AB = BC равны углы A и C, а не углы при сторонах AB и BC. Угол при вершине B стоит особняком.
• Применение свойства не к той вершине. Если в условии AB = AC, равны уже углы B и C, а особый угол – A. Внимательно смотрите, какие стороны названы равными.
• Подстановка в теорему косинусов не той стороны. Для угла B нужна сторона, лежащая напротив, – это AC.
• Округление на промежуточных шагах. При работе через arccos сохраняйте 3–4 знака после запятой, иначе ответ «уплывёт» на 0,5–1°.

Алгоритм решения задачи за 4 шага

1. Убедитесь, что AB и BC – именно боковые стороны (B – вершина при равных сторонах).
2. Запишите равенство ∠A = ∠C.
3. Выберите формулу: через угол при основании (∠B = 180° − 2∠A) или через стороны (теорема косинусов).
4. Подставьте данные, вычислите и проверьте суммой углов: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.