Арктангенс: определение, свойства и калькулятор онлайн

Что такое арктангенс

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция к тангенсу. Если функция тангенс преобразует угол в число, то арктангенс выполняет обратную операцию: по числу находит угол.

Простыми словами, если тангенс угла α равен x, то арктангенс от x вернет нам этот угол α. Эта функция широко используется в математике, физике, инженерии и программировании для решения задач, связанных с углами и направлениями.

Обозначение арктангенса

Арктангенс обозначается несколькими способами:

• arctg(x) — русское обозначение
• arctan(x) — международное обозначение
• tan⁻¹(x) — обозначение на калькуляторах
• atan(x) — обозначение в программировании

Все эти обозначения означают одну и ту же функцию.

Определение арктангенса

Математическое определение: arctg(x) = α, если tg(α) = x и -π/2 < α < π/2.

Это означает, что арктангенс от x — это такой угол α (в радианах), тангенс которого равен x, при этом угол находится в диапазоне от -90° до 90° (или от -π/2 до π/2 радиан).

Область определения и область значений

• Область определения: все действительные числа, x ∈ (-∞, +∞)
• Область значений: от -π/2 до π/2, y ∈ (-π/2, π/2) или в градусах от -90° до 90°

Основные свойства арктангенса

Нечетность функции

Арктангенс является нечетной функцией:

arctg(-x) = -arctg(x)

Это означает, что арктангенс от отрицательного числа равен минус арктангенсу от положительного числа.

Значения в особых точках

• arctg(0) = 0
• arctg(1) = π/4 (или 45°)
• arctg(-1) = -π/4 (или -45°)
• arctg(√3) = π/3 (или 60°)
• arctg(1/√3) = π/6 (или 30°)
• arctg(+∞) = π/2 (или 90°)
• arctg(-∞) = -π/2 (или -90°)

Связь с тангенсом

Основное соотношение между арктангенсом и тангенсом:

tg(arctg(x)) = x для любого x

arctg(tg(α)) = α только если α ∈ (-π/2, π/2)

Формулы с арктангенсом

Сумма арктангенсов

arctg(x) + arctg(y) = arctg((x + y)/(1 - xy)) при xy < 1

Разность арктангенсов

arctg(x) - arctg(y) = arctg((x - y)/(1 + xy))

Связь с арккотангенсом

arctg(x) + arcctg(x) = π/2 для x > 0

arctg(x) + arcctg(x) = -π/2 для x < 0

Производная арктангенса

(arctg(x))’ = 1/(1 + x²)

Как вычислить арктангенс

Использование калькулятора

Для вычисления арктангенса на инженерном калькуляторе:

1. Нажмите кнопку SHIFT или 2nd
2. Нажмите кнопку tan
3. Введите число
4. Нажмите =

Убедитесь, что калькулятор находится в нужном режиме (DEG для градусов, RAD для радиан).

Использование онлайн-калькулятора

Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро вычислить арктангенс любого числа. Просто введите значение в поле ввода, и калькулятор автоматически рассчитает результат в радианах и градусах.

Вычисление вручную

Для небольших значений x можно использовать разложение в ряд Тейлора:

arctg(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + … при |x| ≤ 1

Для |x| > 1 используется формула:

arctg(x) = π/2 - arctg(1/x) при x > 0

arctg(x) = -π/2 - arctg(1/x) при x < 0

Примеры вычисления

Пример 1: Нахождение угла по отношению катетов

Задача: В прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен 5 см, прилежащий катет равен 3 см. Найти угол между прилежащим катетом и гипотенузой.

Решение:

• tg(α) = 5/3 = 1,667
• α = arctg(1,667)
• α ≈ 1,030 радиан или 59°

Пример 2: Вычисление простых значений

Найти arctg(1):

• Мы знаем, что tg(45°) = 1
• Следовательно, arctg(1) = 45° или π/4 радиан
• arctg(1) ≈ 0,785 радиан

Пример 3: Отрицательное значение

Найти arctg(-√3):

• Мы знаем, что tg(60°) = √3
• По свойству нечетности: arctg(-√3) = -arctg(√3)
• arctg(-√3) = -60° или -π/3 радиан
• arctg(-√3) ≈ -1,047 радиан

Таблица значений арктангенса

Применение арктангенса

В геометрии

Арктангенс используется для нахождения углов в треугольниках, когда известны длины сторон. Особенно полезен при работе с прямоугольными треугольниками.

В физике

В физике арктангенс применяется при:

• Расчете углов наклона траекторий
• Анализе колебаний и волн
• Определении направлений векторов
• Расчете фазовых сдвигов

В программировании

В программировании часто используется функция atan2(y, x), которая вычисляет арктангенс отношения y/x с учетом знаков обоих аргументов, возвращая угол в диапазоне от -π до π.

В навигации

Арктангенс помогает определить:

• Азимут между двумя точками на карте
• Угол поворота при навигации
• Направление движения

В инженерии

Используется при:

• Расчете углов наклона конструкций
• Проектировании лестниц и пандусов
• Расчете углов резания в механике

График функции арктангенса

График арктангенса имеет характерную S-образную форму:

• Функция возрастает на всей области определения
• Имеет горизонтальные асимптоты y = π/2 и y = -π/2
• Проходит через начало координат (0, 0)
• Симметрична относительно начала координат (нечетная функция)
• Непрерывна на всей числовой прямой

Связь с другими функциями

Арккотангенс

arcctg(x) = π/2 - arctg(x) для x > 0

Арксинус

arcsin(x) = arctg(x/√(1-x²)) при |x| < 1

Арккосинус

arccos(x) = π/2 - arctg(x/√(1-x²)) при |x| < 1

Интересные факты

1. Формула Мачина для вычисления числа π использует арктангенс: π/4 = 4·arctg(1/5) - arctg(1/239)

2. Функция арктангенс используется в машинном обучении в качестве функции активации нейронных сетей.

3. В компьютерной графике арктангенс применяется для вычисления углов поворота объектов в трехмерном пространстве.

4. Арктангенс был одной из первых функций, для которых составили математические таблицы в XVI веке.

Советы по использованию

1. Всегда проверяйте, в каких единицах (радианы или градусы) работает ваш калькулятор.

2. При решении геометрических задач сначала определите, какое отношение сторон вам известно.

3. Помните, что арктангенс принимает любые действительные числа, в отличие от арксинуса и арккосинуса.

4. При программировании предпочитайте функцию atan2, так как она правильно обрабатывает все четверти.

5. Для быстрой проверки используйте известные значения: arctg(1) = 45°, arctg(0) = 0°.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.