Алгебраические дроби

Что такое алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это частное двух алгебраических выражений:

$$\frac{A}{B}$$

где A (числитель) и B (знаменатель) — это выражения, содержащие переменные, числа и операции.

Примеры:

• $\frac{x + 2}{x - 3}$
• $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$
• $\frac{2x}{y^2 + 1}$
• $\frac{3}{x^2}$

Главное ограничение: ОДЗ

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменных, при которых дробь имеет смысл. Знаменатель никогда не должен равняться нулю.

Для дроби $\frac{x + 2}{x - 3}$ ОДЗ: $x \neq 3$

Для дроби $\frac{a}{(a-1)(a+2)}$ ОДЗ: $a \neq 1$ и $a \neq -2$

Основные свойства алгебраических дробей

Сокращение дроби

Дробь можно сократить на общий множитель числителя и знаменателя:

$$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$$

Ключевой момент: сокращать можно только множители, а не слагаемые!

Примеры правильного сокращения:

$$\frac{6x^2}{9x} = \frac{2x \cdot 3x}{3x \cdot 3} = \frac{2x}{3}$$

$$\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x - 2 \text{ (при } x \neq -2\text{)}$$

Примеры НЕПРАВИЛЬНОГО сокращения:

Изменение знаков

Если изменить знаки у числителя и знаменателя, дробь не изменится:

$$-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$$

Пример:

$$\frac{-(x - 2)}{x + 3} = \frac{2 - x}{x + 3}$$

Упрощение алгебраических дробей

Упрощение — это приведение дроби к более простому виду путем сокращения.

Алгоритм:

1. Разложи числитель и знаменатель на множители
2. Найди общие множители
3. Сократи общие множители
4. Укажи ОДЗ

Пример 1: Простое сокращение

$$\frac{4x^2y}{6xy^2} = \frac{2x \cdot 2xy}{3 \cdot 2xy^2} = \frac{2x}{3y}$$

Пример 2: Разложение на множители

$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} = \frac{x+3}{x-3} \text{ (при } x \neq 3\text{)}$$

Пример 3: Группировка

$$\frac{x^3 + 2x^2 + x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 + 2x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+1)}{x-1}$$

Операции с алгебраическими дробями

Сложение и вычитание

С одинаковыми знаменателями:

$$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$$

$$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$$

Пример:

$$\frac{3x}{x+1} + \frac{x+3}{x+1} = \frac{3x + x + 3}{x+1} = \frac{4x + 3}{x+1}$$

С разными знаменателями:

1. Найди общий знаменатель (НОЗ)
2. Приведи обе дроби к НОЗ
3. Сложи (вычти) числители

Пример:

$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$$

НОЗ = $x(x+1)$

$$= \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x+1)} = \frac{5x + 2}{x(x+1)}$$

Умножение

$$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$$

Совет: сократи перед умножением, если возможно!

Пример:

$$\frac{x+2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+3} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{x+2}{x+3} \text{ (при } x \neq 1\text{)}$$

Деление

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$$

Правило: при делении дробь-делитель переворачивается!

Пример:

$$\frac{x^2 - 4}{x+1} \div \frac{x-2}{x+1} = \frac{x^2 - 4}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-2}$$

$$= \frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)} = x + 2 \text{ (при } x \neq -1, x \neq 2\text{)}$$

Возведение в степень

$$\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}$$

Пример:

$$\left(\frac{2x}{y}\right)^3 = \frac{8x^3}{y^3}$$

$$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x + 1}$$

Типичные ошибки

Практические примеры

Пример 1: Упрощение сложного выражения

$$\frac{a^2 - ab}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a+b}{a}$$

Решение:

$$= \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{a}$$

$$= \frac{\cancel{a}\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a}}$$

$$= 1 \text{ (при } a \neq 0, a \neq b, a \neq -b\text{)}$$

Пример 2: Сложение с разными знаменателями

$$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x} + \frac{3}{x(x-1)}$$

Решение:

НОЗ = $x(x-1)$

$$= \frac{x}{x(x-1)} - \frac{2(x-1)}{x(x-1)} + \frac{3}{x(x-1)}$$

$$= \frac{x - 2x + 2 + 3}{x(x-1)} = \frac{-x + 5}{x(x-1)} = \frac{5-x}{x(x-1)}$$

Пример 3: Выполнение нескольких операций

$$\left(\frac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1}\right) \div \frac{2x}{x^2-1}$$

Решение:

Сначала скобки:

$$\frac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1) - x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x - x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{-2x}{x^2-1}$$

Теперь деление:

$$\frac{-2x}{x^2-1} \div \frac{2x}{x^2-1} = \frac{-2x}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-1}{2x} = \frac{-2x \cdot (x^2-1)}{(x^2-1) \cdot 2x} = -1 \text{ (при } x \neq 0, x \neq \pm 1\text{)}$$

Дополнительные советы

1. Всегда указывай ОДЗ — это часто требуется при решении уравнений
2. Разложи на множители — перед упрощением сначала разложи числитель и знаменатель
3. Сокращай на множители перед операциями — это облегчит вычисления
4. Проверь результат — подставь конкретные значения переменной
5. Используй формулы сокращённого умножения — $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, $(a \pm b)^3$ и т.д.

Алгебраические дроби — это навык, который приходит с практикой. Чем больше примеров ты решишь, тем более уверенным ты станешь в выполнении операций и упрощении выражений.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.