ABCD трапеция найти основание AD
Трапеция ABCD – четырёхугольник, у которого стороны AD и BC параллельны. Именно AD и BC называются основаниями, а AB и CD – боковыми сторонами (ногами). Задача «найти основание AD» встречается в школьных контрольных, на ОГЭ и ЕГЭ, и решается несколькими способами в зависимости от того, какие данные даны.
Основные формулы для нахождения AD
Через площадь и высоту
Самый распространённый случай: известны площадь S, высота h и второе основание BC.
Формула площади трапеции:
$$S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2}$$Выражаем AD:
$$AD = \frac{2S}{h} - BC$$Пример. Площадь трапеции S = 52 см², высота h = 8 см, основание BC = 5 см.
$$AD = \frac{2 \cdot 52}{8} - 5 = \frac{104}{8} - 5 = 13 - 5 = 8 \text{ см}$$Через среднюю линию
Средняя линия трапеции m параллельна основаниям и равна их полусумме:
$$m = \frac{AD + BC}{2}$$Отсюда:
$$AD = 2m - BC$$Пример. Средняя линия m = 11 см, основание BC = 6 см.
$$AD = 2 \cdot 11 - 6 = 22 - 6 = 16 \text{ см}$$Через проекции боковых сторон
Если опустить перпендикуляры из вершин B и C на основание AD, основание разобьётся на три отрезка:
$$AD = BC + p_1 + p_2$$где p₁ – проекция стороны AB на основание AD, p₂ – проекция стороны CD на основание AD.
Проекции находятся через теорему Пифагора:
$$p_1 = \sqrt{AB^2 - h^2}, \quad p_2 = \sqrt{CD^2 - h^2}$$Пример. BC = 4 см, AB = 5 см, CD = 13 см, высота h = 3 см.
$$p_1 = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$$$p_2 = \sqrt{13^2 - 3^2} = \sqrt{169 - 9} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx 12{,}65 \text{ см}$$$$AD = 4 + 4 + 12{,}65 = 20{,}65 \text{ см}$$Какой способ выбрать?
| Известные данные | Формула |
|---|---|
| Площадь, высота, BC | AD = 2S / h − BC |
| Средняя линия, BC | AD = 2m − BC |
| Боковые стороны, высота, BC | AD = BC + √(AB² − h²) + √(CD² − h²) |
| Углы при основании BC и BC, h | AD = BC + h · (ctg α + ctg β) |
Пошаговый алгоритм
- Определите, что известно – площадь, среднюю линию, боковые стороны или углы.
- Выберите формулу из таблицы выше.
- Подставьте значения и выполните вычисления.
- Проверьте результат: AD должно быть положительным числом и больше нуля. Если трапеция с AD как нижним основанием – ожидается AD > BC (но не обязательно).
Типичные ошибки
- Путаница оснований. В условии может быть сказано «меньшее основание BC = 3 см». Тогда AD – большее основание, и результат должен быть больше 3.
- Забыть про коэффициент 2 в формуле через площадь. Формула площади содержит деление на 2, поэтому при выражении AD появляется умножение на 2.
- Проекция выходит больше стороны. Если p₁ > AB, значит, в данных ошибка – проекция не может превышать длину самой стороны.
Дополнительные условия
Иногда задача содержит нестандартные условия:
- Диагонали перпендикулярны – используйте свойство: сумма квадратов оснований равна сумме квадратов боковых сторон.
- Трапеция вписана в окружность – тогда AD + BC = AB + CD, и AD можно найти, зная три стороны.
- Угол наклона боковой стороны – проекция стороны на основание равна AB · cos α.
Каждый из этих случаев сводится к подстановке в одну из базовых формул после предварительных преобразований с тригонометрией или свойствами вписанной фигуры.