Обновлено:
ABCD трапеция: найдите основание
В задачах по геометрии трапеция ABCD – одна из самых частых фигур. Типичное условие: «В трапеции ABCD основания AD и BC равны 12 и 6, найдите основание…». Но формула зависит от того, какие данные даны. Ниже – все способы найти неизвестное основание с формулами и разобранными примерами.
Элементы трапеции ABCD
В трапеции ABCD вершины записаны по порядку. Две параллельные стороны – основания (обозначим a и b), две непараллельные – боковые стороны (обозначим c и d).
- a – большее основание (например, AB)
- b – меньшее основание (например, CD)
- c, d – боковые стороны (AD и BC)
- h – высота, перпендикуляр между основаниями
- m – средняя линия, соединяет середины боковых сторон
Средняя линия всегда параллельна основаниям и равна их полусумме:
$$m = \frac{a + b}{2}$$Формулы: как найти основание трапеции ABCD
По средней линии и второму основанию
Если известна средняя линия m и одно основание (например, b), второе находится из формулы средней линии:
$$a = 2m - b$$Пример. Средняя линия трапеции ABCD равна 10, основание CD = 6. Найдите основание AB.
$$AB = 2 \times 10 - 6 = 14$$По площади и высоте
Площадь трапеции выражается через основания и высоту:
$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$Отсюда, если известны площадь, высота и одно основание:
$$a = \frac{2S}{h} - b$$Пример. Площадь трапеции ABCD = 54, высота h = 6, основание CD = 6. Найдите основание AB.
$$AB = \frac{2 \times 54}{6} - 6 = 18 - 6 = 12$$По высоте, боковой стороне и углу
Если известна боковая сторона c и угол α при основании a, то проекция боковой стороны на основание:
$$p = c \cdot \cos\alpha$$Тогда основание (когда обе проекции известны):
$$a = b + p_1 + p_2$$где p₁ и p₂ – проекции боковых сторон на большее основание.
Если угол известен только с одной стороны, а с другой сторона перпендикулярна основанию:
$$a = b + h \cdot \cot\alpha$$Пример. В трапеции ABCD основание AB = 18, CD = 8, угол при вершине A равен 60°, боковая сторона AD ⊥ AB. Найдите AD.
Здесь проекция на AB со стороны B:
$$p = AB - CD = 18 - 8 = 10$$Высота h = AD. Из прямоугольного треугольника с катетом p = 10 и углом 60°:
$$h = \frac{p}{\tan 60°} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77$$По боковым сторонам, высоте и второму основанию
Если обе проекции боковых сторон известны (или вычисляются через высоту и углы), формула остаётся той же:
$$a = b + p_1 + p_2$$Прекции находятся через теорему Пифагора из прямоугольных треугольников, образованных высотой:
$$p_1 = \sqrt{c^2 - h^2}, \quad p_2 = \sqrt{d^2 - h^2}$$Пример. В трапеции ABCD: CD = 5, AD = 13, BC = 15, высота h = 12. Найдите AB.
$$p_1 = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$$$p_2 = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$$$AB = 5 + 5 + 9 = 19$$По диагоналям и углу между ними
Площадь трапеции через диагонали d₁, d₂ и угол α между ними:
$$S = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\alpha}{2}$$Зная площадь и высоту, находим полусумму оснований:
$$a + b = \frac{2S}{h}$$Одно основание тогда:
$$a = \frac{2S}{h} - b$$Этот способ используется реже, но встречается в олимпиадных задачах.
Сводная таблица формул
| Что дано | Формула |
|---|---|
| Средняя линия m и основание b | a = 2m − b |
| Площадь S, высота h, основание b | a = 2S/h − b |
| Основание b и проекции сторон p₁, p₂ | a = b + p₁ + p₂ |
| Боковая сторона c, высота h | p = √(c² − h²) |
Частые ошибки при решении
- Смешивают основания и боковые стороны. Всегда проверяйте: основания параллельны, боковые – нет.
- Забывают про случай с обеими проекциями. Если оба угла при большем основании острые, то p₁ + p₂ = a − b. Если один угол тупой, одна из проекций вычитается.
- Не учитывают перпендикулярность. Если в условии сказано «AD ⊥ AB», значит угол при A = 90°, и треугольник с этой стороны – прямоугольный.
- Перепутывают вершины. AB – это сторона между точками A и B. Убедитесь, что параллельные стороны указаны в условии.
Часто задаваемые вопросы
Чем основание трапеции отличается от боковой стороны?
Основания трапеции – это две параллельные стороны (в ABCD это AB и CD). Боковые стороны – это две непараллельные стороны (AD и BC). Основания всегда параллельны друг другу, а боковые стороны могут быть равны или различны по длине.
Может ли основание трапеции быть короче боковой стороны?
Да, в любой трапеции одно основание короче другого, но оба они могут быть короче боковых сторон. Ограничений по соотношению длин оснований и боковых сторон, кроме неравенства треугольника, не существует.
Как найти основание трапеции, если известны только две стороны?
Двух сторон недостаточно – задача не имеет единственного решения. Нужен хотя бы один дополнительный параметр: площадь, высота, диагональ, угол или средняя линия.
Как обозначаются основания в трапеции ABCD?
В стандартной записи вершины перечисляются последовательно: A, B, C, D. Основаниями служат стороны AB и CD – они параллельны. Стороны AD и BC – боковые. Иногда в условии прямо указано, какие стороны параллельны.
Всегда ли AB – большее основание трапеции ABCD?
Нет, не всегда. Какое из оснований AB или CD больше, зависит от конкретной задачи. В условии может быть указано «AB > CD», или это видно из рисунка, или определяется в ходе решения.
Что делать, если основания трапеции равны?
Если основания равны и параллельны, фигура – уже не трапеция, а параллелограмм. В стандартном определении трапеции (школьный курс) основания обязательно различны по длине.