Найти объём, если известно число 4
Задачи на объём – одни из самых распространённых в школьной и вузовской математике. Если в условии встречается число 4 как линейный размер фигуры, достаточно подставить его в стандартную формулу объёма. Ниже – готовые результаты для всех базовых тел и пояснения, как действовать в каждом случае.
Объём куба со стороной 4
Куб – частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три ребра равны. Формула:
V = a³
Если a = 4:
V = 4³ = 64 куб. ед.
Например, куб с ребром 4 см имеет объём 64 см³, а куб с ребром 4 м – 64 м³.
Объём прямоугольного параллелепипеда, если одно ребро равно 4
Формула: V = a · b · c
Значение 4 может быть любым из трёх рёбер. Примеры:
- a = 4, b = 5, c = 6 → V = 4 · 5 · 6 = 120 куб. ед.
- a = 4, b = 4, c = 10 → V = 4 · 4 · 10 = 160 куб. ед.
Если известны только одно ребро и площадь основания S, формула упрощается: V = S · a.
Объём шара с радиусом 4
Формула объёма шара:
V = 4/3 · π · r³
При r = 4:
V = 4/3 · π · 4³ = 4/3 · π · 64 = 256π/3 ≈ 268,08 куб. ед.
Если 4 – это диаметр, то радиус r = 2:
V = 4/3 · π · 2³ = 32π/3 ≈ 33,51 куб. ед.
Важно: множитель 4/3 в формуле шара не имеет отношения к «четвёрке» из условия. Это константа, которая появляется при интегрировании.
Объём цилиндра, если радиус или высота равны 4
Формула: V = π · r² · h
Три типичных случая:
| Что известно | Подстановка | Результат |
|---|---|---|
| r = 4, h = 10 | V = π · 16 · 10 | ≈ 502,65 |
| r = 3, h = 4 | V = π · 9 · 4 | ≈ 113,10 |
| r = 4, h = 4 | V = π · 16 · 4 | ≈ 201,06 |
Площадь основания цилиндра с радиусом 4: S = π · 4² = 16π ≈ 50,27 кв. ед.
Объём конуса при радиусе или высоте 4
Формула конуса – треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой:
V = 1/3 · π · r² · h
Примеры:
- r = 4, h = 9 → V = 1/3 · π · 16 · 9 = 48π ≈ 150,80 куб. ед.
- r = 5, h = 4 → V = 1/3 · π · 25 · 4 = 100π/3 ≈ 104,72 куб. ед.
- r = 4, h = 4 → V = 1/3 · π · 16 · 4 = 64π/3 ≈ 67,02 куб. ед.
Объём пирамиды с основанием, вписанным в окружность радиуса 4
Для правильной пирамиды:
V = 1/3 · Sосн · h
Площадь основания зависит от количества сторон n. Для правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R = 4:
S = n/2 · R² · sin(2π/n)
| n (сторон) | Площадь основания | V при h = 10 |
|---|---|---|
| 3 (треугольник) | ≈ 20,78 | ≈ 69,28 |
| 4 (квадрат) | 32,00 | ≈ 106,67 |
| 6 (шестиугольник) | ≈ 41,57 | ≈ 138,56 |
Объём шара по числу 4: откуда берётся коэффициент
В формуле V = 4/3 · π · r³ число 4/3 – результат интегрирования. Шар можно представить как сумму бесконечно тонких дисков, и при вычислении интеграла:
V = ∫₋ᵣʳ π(r² − x²) dx = 4πr³/3
Коэффициент 4/3 ≈ 1,333 означает, что объём шара примерно на треть больше, чем объём описанного вокруг него цилиндра (коэффициент заполнения ≈ 0,5236).
Если 4 – это не размер, а результат задачи
Иногда в задаче дано, что объём равен 4, и нужно найти неизвестный размер. Тогда действуем в обратную сторону:
Пример: объём куба равен 4. Найти ребро.
a = ∛4 ≈ 1,587
Пример: объём цилиндра равен 4π, высота h = 1. Найти радиус.
4π = π · r² · 1 → r² = 4 → r = 2
Формулы объёма: шпаргалка
| Фигура | Формула | Параметры |
|---|---|---|
| Куб | V = a³ | a – ребро |
| Параллелепипед | V = a · b · c | a, b, c – рёбра |
| Цилиндр | V = πr²h | r – радиус, h – высота |
| Конус | V = πr²h / 3 | r – радиус, h – высота |
| Шар | V = 4πr³ / 3 | r – радиус |
| Пирамида | V = Sосн · h / 3 | S – площадь основания, h – высота |
| Усечённый конус | V = πh(R² + Rr + r²) / 3 | R, r – радиусы, h – высота |
Все формулы предполагают, что линейные размеры выражены в одних единицах. Если даны см и м – переведите в одну единицу до подстановки.