3 в 5 степени

Что такое 3 в 5 степени

3 в 5 степени (обозначается как 3⁵ или 3^5) — это математическая операция возведения числа 3 в пятую степень. Результат этой операции равен 243.

Возведение в степень означает многократное умножение числа (основания) само на себя. В данном случае:

3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Показатель степени (5) указывает, сколько раз основание (3) участвует в произведении.

Пошаговый расчёт

Рассмотрим детально, как получить результат 3 в 5 степени:

Шаг 1: 3¹ = 3
Шаг 2: 3² = 3 × 3 = 9
Шаг 3: 3³ = 9 × 3 = 27
Шаг 4: 3⁴ = 27 × 3 = 81
Шаг 5: 3⁵ = 81 × 3 = 243

Каждый следующий шаг — это умножение предыдущего результата на 3.

Формула и обозначения

Общая формула возведения числа в степень:

aⁿ = a × a × a × … × a (n множителей)

Где:

• a — основание степени (в нашем случае 3)
• n — показатель степени (в нашем случае 5)
• aⁿ — результат возведения (243)

Альтернативные обозначения:

• Математическая запись: 3⁵
• Компьютерная запись: 3^5 или pow(3, 5)
• В Excel: =СТЕПЕНЬ(3;5) или =3^5

Свойства степеней с основанием 3

При работе со степенями числа 3 действуют стандартные математические правила:

Умножение степеней:
3⁵ × 3² = 3⁽⁵⁺²⁾ = 3⁷ = 2187

Деление степеней:
3⁵ ÷ 3² = 3⁽⁵⁻²⁾ = 3³ = 27

Возведение степени в степень:
(3⁵)² = 3⁽⁵ˣ²⁾ = 3¹⁰ = 59049

Нулевая степень:
3⁰ = 1 (любое число в степени 0 равно 1)

Отрицательная степень:
3⁻⁵ = 1/3⁵ = 1/243 ≈ 0,004115

Таблица степеней числа 3

Как видно, степени числа 3 растут очень быстро — это пример экспоненциального роста.

Практические примеры применения

Комбинаторика

Если в каждом из 5 вопросов теста есть 3 варианта ответа, общее количество возможных комбинаций ответов:

3⁵ = 243 комбинации

Объёмные расчёты

Объём куба со стороной 3 метра в пятимерном пространстве (теоретический расчёт):

V = 3⁵ = 243 м⁵

Информатика

В троичной системе счисления 5 разрядов могут представить:

3⁵ = 243 различных значения (от 0 до 242 в десятичной системе)

Рост популяции

Если популяция бактерий утраивается каждый час, через 5 часов из одной бактерии получится:

1 × 3⁵ = 243 бактерии

Способы вычисления

Вручную

Последовательное умножение: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Калькулятор

На большинстве калькуляторов: введите 3, нажмите кнопку xʸ или ^, введите 5, нажмите =.

Программирование

Python:

result = 3 ** 5  # или pow(3, 5)
print(result)  # 243

JavaScript:

let result = Math.pow(3, 5); // или 3 ** 5
console.log(result); // 243

Excel/Google Sheets:

=СТЕПЕНЬ(3;5)
или
=3^5

Связь с другими математическими понятиями

Логарифм

Логарифм — обратная операция возведению в степень:

log₃(243) = 5

Это читается: “логарифм 243 по основанию 3 равен 5”

Факториал

Интересно, что 3⁵ = 243 находится между 5! = 120 и 6! = 720.

Геометрическая прогрессия

Степени числа 3 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, …

Частые ошибки при вычислении

Ошибка 1: Путаница со сложением
✗ Неверно: 3⁵ = 3 × 5 = 15
✓ Верно: 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Ошибка 2: Неправильный порядок операций
✗ Неверно: 3 + 2⁵ = (3 + 2)⁵ = 5⁵ = 3125
✓ Верно: 3 + 2⁵ = 3 + 32 = 35

Ошибка 3: Смешение основания и показателя
✗ Неверно: 3⁵ = 5³ = 125
✓ Верно: 3⁵ = 243, а 5³ = 125

Сравнение с другими степенями

Для понимания масштаба числа 243:

• 2⁵ = 32 (в 7,6 раз меньше)
• 3⁵ = 243
• 4⁵ = 1024 (в 4,2 раза больше)
• 5⁵ = 3125 (в 12,9 раз больше)

3⁵ также равно:

• 9 × 27 (3² × 3³)
• 81 × 3 (3⁴ × 3¹)
• √(3¹⁰) = √59049

Применение в реальных задачах

Задача 1: Игровое дерево решений

В игре на каждом ходу есть 3 возможных действия. Сколько различных сценариев за 5 ходов?

Решение: 3⁵ = 243 сценария

Задача 2: Кодирование информации

Сколько бит информации несёт событие с 243 равновероятными исходами?

Решение: log₂(243) = log₂(3⁵) = 5 × log₂(3) ≈ 7,92 бита

Задача 3: Финансовый рост

Вклад утраивается каждый год. Во сколько раз вырастет сумма за 5 лет?

Решение: 3⁵ = 243 раза (или 24 300% роста)

Исторический контекст

Возведение в степень изучалось математиками с древности. Степени числа 3 имели особое значение:

• В древнем Вавилоне использовались для астрономических расчётов
• В Древней Греции Архимед применял степени для оценки количества песчинок во Вселенной
• В современной математике степени тройки встречаются в теории чисел и комбинаторике

Число 243 = 3⁵ также является:

• Полупростым числом (имеет только делители 1, 3, 9, 27, 81, 243)
• Нечётным числом
• Числом без квадратных делителей кроме 1

Заключение

3 в 5 степени равно 243 — это базовый математический результат, который находит применение в множестве областей от комбинаторики до финансов. Понимание принципов возведения в степень помогает решать практические задачи и развивает математическое мышление. Используйте наш калькулятор для быстрого вычисления любых степеней или проверки расчётов.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.