3 в 4 степени

Чему равна 3 в 4 степени

3 в 4 степени равно 81.

Математическая запись: 3⁴ = 81 или 3^4 = 81.

Это означает, что число 3 умножается само на себя четыре раза:

3 × 3 × 3 × 3 = 81

Результат 81 используется во многих математических, физических и инженерных расчетах, а также встречается в задачах по алгебре, геометрии и информатике.

Пошаговый расчет

Разберем вычисление 3⁴ по шагам:

Шаг 1: 3 × 3 = 9
Шаг 2: 9 × 3 = 27
Шаг 3: 27 × 3 = 81

Каждый промежуточный результат — это степень числа 3:

• 3¹ = 3
• 3² = 9
• 3³ = 27
• 3⁴ = 81

Такое последовательное умножение помогает понять логику возведения в степень и избежать ошибок при расчетах вручную.

Формула возведения в степень

Общая формула возведения числа в натуральную степень:

aⁿ = a × a × a × … × a (n раз)

Где:

• a — основание степени (в нашем случае 3)
• n — показатель степени (в нашем случае 4)
• aⁿ — результат возведения в степень

Для нашего примера:

• Основание: a = 3
• Показатель: n = 4
• Результат: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

Свойства степеней

При работе со степенями полезно знать основные свойства:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: 3² × 3³ = 3⁽²⁺³⁾ = 3⁵ = 243
2. Деление степеней с одинаковым основанием: 3⁴ ÷ 3² = 3⁽⁴⁻²⁾ = 3² = 9
3. Возведение степени в степень: (3²)² = 3⁽²ˣ²⁾ = 3⁴ = 81
4. Нулевая степень: 3⁰ = 1 (любое число в нулевой степени равно 1)
5. Отрицательная степень: 3⁻⁴ = 1/(3⁴) = 1/81

Таблица степеней числа 3

Для удобства представлены степени числа 3 от 0 до 8:

Степени числа 3 растут очень быстро — уже при показателе 8 результат превышает 6500.

Примеры применения

Математика и алгебра

Задача: Упростите выражение (3²)² и найдите результат.

Решение:
По свойству возведения степени в степень: (3²)² = 3⁽²ˣ²⁾ = 3⁴ = 81

Задача: Решите уравнение x⁴ = 81.

Решение:
x⁴ = 81
x = ±⁴√81 = ±3
Проверка: 3⁴ = 81 ✓, (-3)⁴ = 81 ✓

Геометрия

Задача: Найдите объем гиперкуба (четырехмерного куба) с ребром 3 единицы.

Решение:
Объем четырехмерного куба вычисляется как V = a⁴, где a — длина ребра.
V = 3⁴ = 81 кубических единиц в четвертом измерении.

Физика

Задача: Рассчитайте количество микросостояний для системы из 4 частиц, каждая из которых может находиться в одном из 3 состояний.

Решение:
Общее количество состояний = 3⁴ = 81 микросостояние.

Информатика

Задача: Сколько различных четырехзначных комбинаций можно составить из цифр 0, 1, 2 (с повторениями)?

Решение:
Для каждой позиции есть 3 варианта, всего 4 позиции: 3⁴ = 81 комбинация.

Экономика и финансы

Задача: Начальный капитал 1000 рублей растет в 3 раза ежегодно. Сколько будет через 4 года?

Решение:
Капитал = 1000 × 3⁴ = 1000 × 81 = 81 000 рублей.

Как использовать калькулятор

Калькулятор на этой странице позволяет:

1. Проверить результат: Введите основание 3 и показатель 4, чтобы убедиться, что 3⁴ = 81.
2. Рассчитать другие степени тройки: Измените показатель (например, 5, 6, 10) для получения новых результатов.
3. Сравнить с другими основаниями: Попробуйте 2⁴, 4⁴ или 5⁴, чтобы увидеть различия.
4. Работать с отрицательными и дробными степенями: Введите -4 для расчета 3⁻⁴ или 0.5 для 3^(1/2).

Калькулятор мгновенно выдает точный результат и помогает проверить домашнее задание или рабочие расчеты.

Проверка результата вручную

Чтобы убедиться в правильности ответа без калькулятора:

Метод 1: Последовательное умножение

• 3 × 3 = 9
• 9 × 3 = 27
• 27 × 3 = 81 ✓

Метод 2: Разложение на промежуточные степени

• 3⁴ = 3² × 3²
• 3² = 9
• 9 × 9 = 81 ✓

Метод 3: Обратная проверка через извлечение корня

• Если 3⁴ = 81, то ⁴√81 должно равняться 3
• ⁴√81 = 3 ✓

Все три метода подтверждают: 3⁴ = 81.

Распространенные ошибки

Ошибка 1: Путаница с умножением

Неправильно: 3⁴ = 3 × 4 = 12
Правильно: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

Степень — это не умножение основания на показатель, а многократное умножение основания само на себя.

Ошибка 2: Неверный порядок операций

Неправильно: 3 + 3⁴ = 6⁴ = 1296
Правильно: 3 + 3⁴ = 3 + 81 = 84

Возведение в степень выполняется раньше сложения согласно порядку операций.

Ошибка 3: Путаница между 3⁴ и 4³

3⁴ = 81 (три в четвертой степени)
4³ = 64 (четыре в третьей степени)

Основание и показатель играют разные роли и их нельзя менять местами.

Ошибка 4: Забывание знака при отрицательном основании

(-3)⁴ = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81 (четное количество отрицательных множителей дает положительный результат)
-3⁴ = -(3⁴) = -81 (здесь минус не входит в основание)

Скобки имеют критическое значение.

Отрицательные и дробные степени

Отрицательная степень

3⁻⁴ означает обратное значение 3⁴:

3⁻⁴ = 1/(3⁴) = 1/81 ≈ 0,012345679

Отрицательная степень используется для записи малых величин и в научной нотации.

Дробная степень (корень)

3^(1/4) — это корень четвертой степени из 3:

3^(1/4) = ⁴√3 ≈ 1,316

3^(3/4) — это куб корня четвертой степени:

3^(3/4) = (⁴√3)³ ≈ 2,280

Дробные степени широко применяются в физике, инженерии и статистике.

Практические советы

1. Для быстрого счета в уме: Запомните степени 3 до 3⁵ (3, 9, 27, 81, 243) — они часто встречаются в задачах.

2. При работе с большими степенями: Используйте калькулятор или свойства степеней для упрощения выражений перед вычислением.

3. В программировании: Функция возведения в степень часто обозначается как pow(3, 4) или 3**4 (Python), что возвращает 81.

4. Для проверки: Если результат кажется слишком большим или маленьким, пересчитайте по шагам или используйте обратную операцию (корень).

5. В физических расчетах: Обращайте внимание на единицы измерения — при возведении в степень они тоже возводятся (м⁴, кг⁴ и т.д.).

Альтернативные способы вычисления

Метод быстрого возведения в степень

Для больших показателей используется бинарный метод:

• 3⁴ = 3² × 3²
• 3² = 9
• 9 × 9 = 81

Этот метод требует меньше операций при больших показателях степени.

Использование логарифмов

Если есть логарифмическая таблица или калькулятор:

log(3⁴) = 4 × log(3) ≈ 4 × 0,477 = 1,908
3⁴ = 10^(1,908) ≈ 81

Метод полезен для очень больших чисел.

Калькулятор или программное обеспечение

Современные инструменты:

• Научный калькулятор: Клавиша x^y или ^
• Excel/Google Sheets: Формула =СТЕПЕНЬ(3;4) или =3^4
• Python: 3**4 или pow(3, 4)
• JavaScript: Math.pow(3, 4) или 3**4

Все эти методы дают точный результат: 81.

Заключение

3 в 4 степени равно 81 — это фундаментальное математическое вычисление, которое применяется в науке, технике, экономике и программировании. Понимание принципов возведения в степень помогает решать сложные задачи, упрощать выражения и проверять результаты расчетов. Используйте калькулятор на этой странице для быстрой проверки и изучения других степеней числа 3.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.