1 в 4 степени

Чему равна 1 в 4 степени

1 в 4 степени равна 1.

Математическая запись: 1⁴ = 1.

Это результат умножения единицы на саму себя четыре раза:

1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Единица обладает уникальным свойством: при возведении в любую степень результат остаётся равным единице.

Определение степени числа

Степень числа — это произведение одинаковых множителей. Если число a возводится в натуральную степень n, это означает умножение числа a на себя n раз.

Общая формула:

aⁿ = a × a × a × … × a (n множителей)

Где:

• a — основание степени (число, которое возводим в степень)
• n — показатель степени (количество умножений)

Для нашего случая:

• a = 1 (основание)
• n = 4 (показатель)

Следовательно: 1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Правило возведения единицы в степень

Единица — особое число в математике. Существует универсальное правило:

1ⁿ = 1 для любого n

Это правило действует при любом показателе степени:

• Натуральные числа: 1¹ = 1, 1² = 1, 1³ = 1, 1⁴ = 1, 1¹⁰⁰ = 1
• Ноль: 1⁰ = 1 (по определению)
• Отрицательные числа: 1⁻¹ = 1, 1⁻⁴ = 1
• Дробные показатели: 1^(1/2) = 1, 1^(3/4) = 1
• Иррациональные показатели: 1^π = 1, 1^√2 = 1

Математическое обоснование

Доказательство через определение

Возведение в натуральную степень — это повторяющееся умножение:

1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1

Каждое умножение на 1 не меняет результат:

• 1 × 1 = 1
• 1 × 1 = 1
• 1 × 1 = 1

Итоговое произведение: 1

Свойство единицы как нейтрального элемента

В математике единица — нейтральный элемент умножения. Это означает, что умножение любого числа на 1 не изменяет это число:

a × 1 = a

При возведении 1 в степень мы многократно умножаем 1 саму на себя. Поскольку 1 × 1 = 1, результат всегда равен 1.

Примеры вычислений со степенями единицы

Пример 1: Последовательное вычисление

Вычислим 1⁴ пошагово:

• Шаг 1: 1¹ = 1
• Шаг 2: 1² = 1 × 1 = 1
• Шаг 3: 1³ = 1 × 1 × 1 = 1
• Шаг 4: 1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Пример 2: Сравнение с другими основаниями

Сравним возведение разных чисел в 4 степень:

• 0⁴ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0
• 1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1
• 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
• 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
• 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Только единица даёт в результате саму себя.

Пример 3: Выражения с единицей

При вычислении сложных выражений:

(1⁴)² = 1² = 1

1⁴ + 1⁴ = 1 + 1 = 2

1⁴ × 5³ = 1 × 125 = 125

(2 + 3) × 1⁴ = 5 × 1 = 5

Отличие от других степеней

Единица в других степенях

• 1¹ = 1 — единица в первой степени равна самой себе
• 1² = 1 — единица в квадрате
• 1³ = 1 — единица в кубе
• 1⁴ = 1 — единица в четвёртой степени
• 1⁵ = 1 — единица в пятой степени
• 1ⁿ = 1 — единица в любой степени

Другие числа в четвёртой степени

Для сравнения, как ведут себя другие числа при возведении в 4 степень:

Чем больше основание, тем быстрее растёт результат. Единица же остаётся неизменной.

Применение в математике и практике

Алгебраические преобразования

При упрощении алгебраических выражений степени единицы можно заменять на 1:

x⁴ × 1⁴ = x⁴ × 1 = x⁴

(a + b)² × 1⁴ = (a + b)² × 1 = (a + b)²

Тождества и уравнения

В уравнениях единица в любой степени не влияет на результат:

x + 1⁴ = x + 1

y × 1⁴ = y

Если в уравнении встречается 1ⁿ, его можно сразу заменить на 1.

Математические последовательности

В последовательностях степеней единица образует постоянную последовательность:

1¹, 1², 1³, 1⁴, 1⁵, … = 1, 1, 1, 1, 1, …

Это единственное натуральное число с таким свойством.

Распространённые ошибки

Ошибка 1: Умножение показателя на основание

Неправильно: 1⁴ = 1 × 4 = 4

Правильно: 1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Степень — это не умножение основания на показатель, а умножение основания само на себя показатель раз.

Ошибка 2: Сложение единиц

Неправильно: 1⁴ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Правильно: 1⁴ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Степень определяется через умножение, а не сложение.

Ошибка 3: Путаница со степенями суммы

Неправильно: (1 + 0)⁴ = 1⁴ + 0⁴ = 1 + 0 = 1 (правильный ответ, но неверное рассуждение)

Правильно: (1 + 0)⁴ = 1⁴ = 1

Степень суммы не равна сумме степеней: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ (кроме частных случаев).

Свойства степеней с единицей

Основные свойства

1. Умножение степеней: 1⁴ × 1³ = 1⁴⁺³ = 1⁷ = 1
2. Деление степеней: 1⁴ ÷ 1² = 1⁴⁻² = 1² = 1
3. Возведение степени в степень: (1⁴)³ = 1⁴ˣ³ = 1¹² = 1
4. Нулевая степень: 1⁰ = 1
5. Первая степень: 1¹ = 1

Все эти операции дают результат 1.

Комбинация с другими числами

При умножении или делении степеней разных чисел:

2³ × 1⁴ = 8 × 1 = 8

5² ÷ 1⁴ = 25 ÷ 1 = 25

Степень единицы выступает нейтральным элементом и не меняет результат.

Заключение

1 в 4 степени равна 1 — это следствие фундаментального свойства единицы как нейтрального элемента умножения. Независимо от показателя степени (натуральный, целый, дробный, отрицательный, иррациональный), единица в любой степени всегда равна единице.

Понимание этого свойства важно для упрощения математических выражений, решения уравнений и работы с алгебраическими преобразованиями. Единица — уникальное число, которое сохраняет своё значение при возведении в степень, что делает вычисления с ней предельно простыми.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.