Площади фигур

Формулы площадей основных фигур

Площадь квадрата

Формула: S = a²

где a — длина стороны квадрата.

Пример: Если сторона квадрата 5 см, то S = 5² = 25 см².

Это самая простая формула, так как у квадрата все стороны равны.

Площадь прямоугольника

Формула: S = a × b

где a и b — длины двух смежных сторон.

Пример: Прямоугольник с длиной 8 м и шириной 4 м имеет площадь S = 8 × 4 = 32 м².

Площадь треугольника

Формула 1 (через основание и высоту): S = (a × h) / 2

где a — основание, h — высота, проведённая к этому основанию.

Пример: Треугольник с основанием 6 см и высотой 4 см: S = (6 × 4) / 2 = 12 см².

Формула 2 (формула Герона): S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]

где a, b, c — стороны треугольника, p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Эта формула удобна, когда известны только три стороны.

Формула 3 (через две стороны и угол): S = (a × b × sin(C)) / 2

где a, b — две стороны, C — угол между ними.

Площадь круга

Формула: S = π × r²

где r — радиус круга, π ≈ 3,14159.

Пример: Круг с радиусом 3 м имеет площадь S = 3,14159 × 3² ≈ 28,27 м².

Альтернативная формула через диаметр: S = (π × d²) / 4

где d — диаметр круга.

Площадь параллелограмма

Формула: S = a × h

где a — основание, h — высота (перпендикуляр от одной стороны к другой).

Пример: Параллелограмм с основанием 7 см и высотой 5 см: S = 7 × 5 = 35 см².

Площадь трапеции

Формула: S = ((a + b) × h) / 2

где a и b — длины параллельных сторон (оснований), h — высота.

Пример: Трапеция с основаниями 6 см и 4 см и высотой 3 см: S = ((6 + 4) × 3) / 2 = 15 см².

Площадь ромба

Формула 1: S = (d₁ × d₂) / 2

где d₁ и d₂ — длины диагоналей.

Формула 2: S = a × h

где a — сторона, h — высота.

Пример: Ромб с диагоналями 8 см и 6 см: S = (8 × 6) / 2 = 24 см².

Площадь эллипса

Формула: S = π × a × b

где a и b — длины большой и малой полуосей.

Пример: Эллипс с полуосями 5 см и 3 см: S = 3,14159 × 5 × 3 ≈ 47,12 см².

Таблица формул площадей фигур

Как пользоваться калькулятором площади

1. Выберите фигуру из списка доступных вариантов (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг и т.д.).
2. Введите необходимые параметры в соответствующие поля (длины сторон, радиус, высоту и т.д.).
3. Укажите единицы измерения (сантиметры, метры, километры и т.д.).
4. Нажмите кнопку «Рассчитать» — калькулятор мгновенно выдаст результат.
5. Результат отобразится в квадратных единицах выбранной системы измерения.

Калькулятор также может показывать промежуточные расчеты, чтобы вы поняли, как получен результат.

Методология расчёта

Пример 1: Площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5 см

Используем формулу Герона:

• p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см (полупериметр)
• S = √[6 × (6−3) × (6−4) × (6−5)]
• S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6 см²

Пример 2: Площадь комнаты размером 5 м × 4 м

Комната имеет форму прямоугольника:

• S = 5 × 4 = 20 м²

Для покупки ламината или плитки нужно 20 м².

Пример 3: Площадь клумбы в форме круга с диаметром 2 м

Сначала найдём радиус: r = 2 / 2 = 1 м

• S = 3,14159 × 1² ≈ 3,14 м²

Потребуется примерно 3,14 м² земли.

Ключевые понятия

Площадь — мера протяженности двумерного объекта в квадратных единицах.

Высота — перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами или от вершины к противолежащей стороне.

Радиус — расстояние от центра круга до любой точки на окружности.

Диаметр — расстояние через центр круга от одной стороны окружности к другой (равен двум радиусам).

Периметр — сумма длин всех сторон фигуры (не путайте с площадью).

Полупериметр — половина периметра, используется в формуле Герона.

Практические советы

• Проверьте единицы измерения: результат всегда в квадратных единицах (м², см², км²). Если исходные данные в разных единицах, приведите их к одной.

• Для неправильных фигур разделите их на простые части (прямоугольники, треугольники), найдите площадь каждой части и сложите результаты.

• Помните о точности π: для грубых расчётов используйте π ≈ 3,14, для более точных — π ≈ 3,14159 или используйте функцию калькулятора.

• Если известен только диаметр круга, разделите его пополам, чтобы получить радиус: r = d / 2.

• Высота треугольника всегда перпендикулярна основанию — это важно для правильного расчёта.

• Проверка результата: если получилось очень большое или очень маленькое число, пересчитайте данные ещё раз.

Типичные ошибки при расчёте площадей

1. Забывают возводить в квадрат — в формулах часто используется квадрат радиуса (r²), стороны (a²) или полуосей.

2. Путают радиус и диаметр — радиус в два раза меньше диаметра. Проверьте, какой параметр вам дан.

3. Неправильно используют высоту — высота должна быть перпендикулярна основанию, не путайте с боковой стороной.

4. Игнорируют единицы измерения — если стороны в сантиметрах, площадь будет в см², а не в м².

5. Делят вместо умножения — в формулах треугольника и трапеции нужно сначала умножить, а потом разделить на 2.

6. Неправильный подсчёт периметра для формулы Герона — тройно проверьте правильность вычисления полупериметра p.

Где применяются расчёты площадей

• Строительство: расчет площади стен, полов, кровли.
• Ремонт: определение количества обоев, краски, плитки.
• Ландшафтный дизайн: площадь газонов, клумб, прудов.
• Недвижимость: определение стоимости земельных участков и помещений.
• Сельское хозяйство: расчет площади полей и участков.
• Дизайн и архитектура: планирование пространства и визуализация.

Все расчеты в статье выполнены с использованием стандартных геометрических формул. Для точных практических применений всегда проверяйте исходные данные и при необходимости обращайтесь к специалистам.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.